フェルマーの最終定理（３）　ソフィーの冒険

n が 3 以上のとき、
Ｘn＋Ｙn＝Ｚn
を満たす自然数 Ｘ、Ｙ、Ｚは存在しない

この命題について、真に驚くべき証明方法を
私は発見した。だが、それを書くには、
この余白は狭すぎる。

フェルマーの死後から100年…
多くの数学者の挑戦にも関わらず、
成果を出すことができたのは、
数学の申し子オイラーだけだった。
だが、そのオイラーも、
フェルマーの最終定理を完全に証明できたわけではなく、
「ｎが３の場合」「ｎが４の場合」と限られた場合について
証明しただけだった。

それから、さらに半世紀が過ぎ…
フェルマーの最終定理について、次の扉を開いたのが、
ソフィー・ジェルマンである。

もともと、ソフィーは、フランスの裕福な商人の娘であった。

父親は、すでに経済的に成功をおさめており、
物静かで美しいソフィーは、黙っていても、
優雅で快適な人生を送ることができただろう。

裕福な家庭の内気なお嬢さん。
それがソフィーの全てだった。

だが、後に、フェルマーの最終定理の第２の扉を開くほど、
聡明なソフィーは、

もしかしたら、そんな先の見えた
ぬるま湯のような人生に疑問を持っていたのかもしれない。

もしかしたら、なにか心の底から熱くなれる、
一生涯を費やしても悔いの残らない、
そんな『何か』をずっと探していたのかもしれない。

幸せだが、少し霞みのかかった、
そんな平凡な毎日を過ごすソフィーは、
ある日、一冊の本に出会う。

それは、父親の書斎で、暇つぶしに拾い読みをしていたときに、
たまたま手にした本だった。

『数学史』の本である。

そこに書かれている高度な数学の内容について、
ソフィーは理解できなかったが、ただ一つだけ、
ある数学者の物語にとても心を惹かれた。

それはアルキメデスの物語だった。

アルキメデスは、砂地に数学の問題を書き、
それを解くことに熱中していたが、
そこに、突然、ローマ軍が攻め込んできた。
町の人間は、みな逃げ出してしまったが、
アルキメデスだけは、その場を離れず、
とうとう、ローマ兵に殺されてしまったのである。

彼女は、その物語に感動した。

「数学って、自分の生死すら忘れちゃうくらい、
　魅力的な学問なのかな？
　アルキメデスが、そこまで夢中になった数学って……
　もしかしたら、人生の全てを賭けるに
　ふさわしい『何か』なのかも！」

こうして、彼女の人生の目標が決まった。

彼女は、数学者を目指すことになる。

しかし、当時は、
「女性に学問は不要」とされていた差別と偏見の時代であり、
特に彼女の母国フランスは、その傾向が強かった。

もちろん、ソフィーの両親も、
彼女が学問に目覚めたことを決して喜びはしなかった。

「娘は、誤った道に進むもうとしており、
　このままでは、女性としての一生を台無しにしてしまう」

そう考えた両親は、
ソフィーが勉強しないように監視し、
夜は、部屋から明かりと暖房を取り上げた。

しかし、彼女は、それで諦めることはなかった。

寝室にロウソクをこっそり持ち込み、
暗い部屋で、がたがた震えながら、
両親に隠れて、一生懸命、数学を勉強し続けたのである。

そんなソフィーが10代の終わりに近づく頃、
パリに数学を学べる学校が新しく作られた。
ソフィーは、どうしてもそこに入って、数学の勉強がしたかった。
しかし、「女の頭で数学は理解できない」
とさえ言われる偏見の強かった時代、
その学校に入学できるのは男性だけだった。

しかし、それでも、ソフィーは諦めなかった。
なんと、ソフィーは、
以前在籍していたルブランという名の男性の名前を騙って、
学校に潜り込むのだった。
ソフィーは、どうにかして、数学の教材や問題集を手に入れ、
レポートも、ルブランの名できちんと提出していた。

だが、そんな潜り込み生活は長くは続かなかった。

もっとも、ソフィーがただの平凡な学生であれば、何事もなく、
日々を過ごすことができたかもしれない。
だが、彼女の非凡さゆえに、彼女のレポートが、
当時、講座を担当していたラグランジュの目にとまってしまう。

ルブランは、呼び出されることになる。

１９世紀最高の数学者と呼ばれたラグランジュは、
当初、独創的だが才気ある数学者の卵に、
賞賛の声をかけようと呼び出したのが、
入ったきた学生が女の子だと気づいて、唖然とする。

「ご、ごめんなさい！わたし、わたし、女の子なんです！
　でも、どうしても、数学が勉強したくて、その…」

女人禁制の場所に、少女が単身もぐりこむという
まるでマンガのような展開に、半ば呆然としつつも、
ラグランジュは、ソフィーの数学への熱い志に打たれ、
彼女を追い出すどころか、
彼女の指導者となることを約束するのだった。

こうして、ソフィーは、ラグランジュの指導のもと、
メキメキと数学の実力を身につけ、数年をかけて、
ついに、フェルマーの最終定理の第２の扉を開ける。

第１の扉を開けたオイラーから、半世紀の間、
まったく進展がなかったのだから、
ソフィーの成果はとても大きなものだった。

ソフィーは、この成果をガウスに手紙で送っている。

ガウスは、数学王とも呼ばれ、
「数学史上もっとも優れた数学者」と評価されるほど、
偉大な数学者であり、当時、彼以外の数学者にとって、
ガウスといえば神さまのような存在だった。

それはソフィーにとっても同様であり、実際、ソフィーは、
「私のようなものが手紙を差し上げて、
　あなたのような天才を煩わせてしまい、
　なんと我ながら無分別なのでしょうか。
　誠に遺憾に感じております」
という、とても恐縮した内容の手紙をガウスに送っている。

それどころか、偉大なガウスに対して、ソフィーは、
「自分が女だと相手にされないのではないか」と恐れ、
またしても、ルブランという名前で男のふりをして、
手紙を送るのだった。

ガウスの方はと言えば、ルブランから送られてきた
「フェルマーの最終定理の新しい研究成果」に深い感銘を受け、
彼の深い洞察力と知性を賞賛し、
「素晴らしい友人を得たことを嬉しく思います」
と気さくな手紙を返信している。

こうして、ガウスとルブランは友人となり、文通は始まった。

しかし、ルブランの正体は、ある事件がきっかけで、
またしてもあっさりとバレテしまうことになる。

ナポレオンが率いるフランス軍が、
ドイツに戦争をしかけたのだ。

フランス軍が、ガウスのいるドイツに攻め込むという話を聞いたとき、
ソフィーの脳裏に浮かんだのは、あのアルキメデスの物語だった。

フランス軍が進軍　→　戦争で町は大混乱　→　ガウス様は数学に夢中　
　→　軍が来ても逃げない　→　銃で撃たれる　

「いやぁ、わたるガウス様が死んじゃう！」

ガウスの身を案じたソフィーは、フランス軍の指揮官に手紙を送り、
ガウスの身の安全を保障してくれるように頼んだ。
そして、実際、その指揮官は、手紙のとおり、
ガウスの安全について、特別な計らいをしてくれた。
が、おせっかいなことに、
「命拾いしましたね。ソフィー・ジェルマン嬢のおかげですよ」
とガウスに告げてしまうのだった。

これがきっかけで、ルブランの正体がバレテしまい、
ソフィーは、ガウスに謝罪の手紙を送っている。

だが、ガウスは、
数学の文通相手が女性であったことに驚いたが、
それでも、変わらぬ友情を誓う手紙を送っている。

こうして、正体を明かしてからも、ソフィーは、
ガウスと文通を行うことになる。
憧れの数学王から認められたソフィーは、
数学者として女性として、おそらく、
幸せの絶頂にあったのかもしれない。

だが、その後、ガウスは、興味の対象が、
ソフィーのやっている分野とは違う方面に移ってしまい、
その結果、手紙の返事を全然書かなくなってしまった…。

突然、ガウスからの手紙が打ち切られたソフィーは、茫然自失とし、
なんとショックのあまり数学をやめてしまうのだった。

数学者になるため、どんな絶望的な状況でも
乗り越えてきたソフィー。

その彼女が、数学を捨ててしまうほどなのだから、
彼女の中で、ガウスがどれだけ大きな存在になっていたか、
彼女の失意を考えると、胸が痛くなる。

●ソフィーの成果

では、ソフィーは、フェルマーの最終定理に関して、
どんな進展をもたらしたのだろう。

前回、フェルマーの最終定理は、
「ｎが素数のときに成り立つ」ことさえ証明すれば良い、
ということを説明した。

そもそも、フェルマーの最終定理は、

「ｎ＝３」の場合、（Ｘ３＋Ｙ３＝Ｚ３）
「ｎ＝４」の場合、（Ｘ４＋Ｙ４＝Ｚ４）
「ｎ＝５」の場合、（Ｘ５＋Ｙ５＝Ｚ５）
「ｎ＝６」の場合、（Ｘ６＋Ｙ６＝Ｚ６）
……

と無限に続く方程式について、「Ｘ，Ｙ，Ｚに自然数の解がない」
と主張しているわけだが、
実は、何もすべてのｎについて証明する必要はなく、
たとえば、「ｎ＝３」の場合が証明されれば、
自動的に、３の倍数（ｎ＝６、ｎ＝９、ｎ＝１２、ｎ＝１５、…）
についても、証明されたことと同じである。

ここで、すべての数は、
「素数（１と自分自身でしか割り切れない数）の倍数」で、
表現できるのだから、
すべての数について証明する必要なく、
「ｎが素数のとき」の場合だけを
証明できれば良いのだ。

もちろん、素数だって、無限に存在する。
だが、素数には、「１と自分自身でしか割り切れない」という
普通の数にはない特殊な性質を持っている。
もしかしたら、ここをきっかけにして、何か進展があるかもしれない。

そこで、ソフィーは、「ｎが素数のとき」に、
フェルマーの方程式（Ｘn＋Ｙn＝Ｚn）が、
どんな性質を持つかを調べた。

その結果、
フェルマーの最終定理そのものを証明するには到らなかったものの、
素数とフェルマーの最終定理の関係について、
後世につながるような新しい研究成果を出している。

実際、そのソフィーの研究成果を使って、別の数学者が、
「ｎ＝５」の場合と「ｎ＝７」の場合について、
フェルマーの最終定理が成り立つことの証明に成功している。

少なくとも、オイラー以後、半世紀にわたり、
まったく進展のなかったフェルマーの最終定理について、
ソフィーが突破口を開いたことだけは間違いない。

ソフィーの研究成果は、数々の数学者に引き継がれ、
そしてまた新たな数学者が、フェルマーの最終定理に挑むことになる。

（補足）

ところで。
失意に沈んで数学をやめてしまったソフィーが、
その後どうなったかと言えば、
心機一転して、物理学者の道へと進んでいる。

驚くべきことに、ソフィーは、ここでも大きな功績を挙げている。

しかし、そんな功績を挙げたソフィーに対して、
科学界が、名誉を持って報いたかといえば、そうでもなかった。
当時の物理学の世界も、女性への差別と偏見が
満ち溢れた場所だったからだ。

ソフィーのように「科学の発展に大きな貢献をした女性」を
粗雑に扱ってきたことは、後世の人から、
科学史における「汚点」「恥」とまで言われている。

とはいうものの…、
彼女のことを認めていた人が、
当時、誰もいなかったわけではない。

ソフィーの目覚しい業績に対して、
それに見合う名誉が送られていないと気づき、
彼女に名誉博士号を送るようゲッティンゲン大学に
働きかけた人物がいた。

その人物とは、あのガウスであった。

しかし、ソフィーは、その名誉を受けとる前に、
乳ガンで、この世を去ってしまう……。

あと少しだけ、少しだけでいいから、長く生きて欲しかった。
ガウスからの贈り物を、ソフィーは、どれだけ喜んだことだろうか……